Programme Pré MSc Foundation en Mathématiques Appliquées

Le programme de base pré-master (PMFP) en mathématiques appliquées vise à homogénéiser les portefeuilles de compétences des futurs étudiants des deux programmes de maîtrise en modélisation mathématique et ingénierie mathématique de l' University Of L'Aquila , qui comprennent le programme Erasmus Mundus "InterMaths - Interdisciplinaire Mathematics" , le programme de master commun "MathMods", et le programme de double diplôme "InterMaths".

Selon les programmes d'études de premier cycle de l'étudiant et le système éducatif de son pays d'origine, les étudiants inscrits dans ces trois programmes peuvent présenter un ensemble de compétences très diversifié dans les disciplines qui caractérisent ces programmes de master. Le PMFP en mathématiques appliquées est conçu pour aborder cette question en couvrant des compétences spécifiques en mathématiques théoriques (analyse réelle et algèbre linéaire) et en programmation informatique. En ce qui concerne les mathématiques théoriques, l'objectif principal du PMFP est de combler le fossé entre le « calcul » et « l'analyse réelle », un problème typique qui se pose assez souvent pour les futurs étudiants en MSc avec une formation très « appliquée ».

Le PMFM inclura des sujets très basiques d'analyse réelle permettant aux étudiants de traiter le calcul infinitésimal avec une perspective rigoureuse "d'analyse réelle" (y compris l'utilisation de preuves mathématiques rigoureuses). D'un autre côté, les étudiants avec une solide formation "théorique" manquent parfois de compétences de base en programmation et en calcul. Ainsi, le PMFP fournit une introduction de base à la programmation informatique et en particulier à l'environnement informatique "MATLAB", qui est largement utilisé dans les cours d'analyse numérique des programmes MSc mentionnés ci-dessus.

Modules

Partie 1

• Un cours accéléré sur l'algèbre linéaire

Espaces linéaires, dépendance linéaire, bases d'un espace linéaire, dimension d'un espace linéaire, sous-espaces linéaires.

Matrices, opérations de base avec des matrices, changement de coordonnées, déterminants, rang. Un bref compte rendu sur les systèmes linéaires et l'élimination de Gauss.

Diagonalisation de matrices carrées, valeurs propres, vecteurs propres. Produits internes, formes bilinéaires et formes quadratiques.

• Équations différentielles : fondements

Introduction générale aux équations différentielles, problèmes de Cauchy.

Existence et unicité des solutions. Théorèmes de Peano et de Cauchy. Exemples, le pinceau de Peano.

Introduction aux équations différentielles linéaires. Exemples.

Un bref aperçu de l'analyse qualitative des problèmes de Cauchy. Comparaison de solutions, solutions maximales, existence globale de solutions, éclatement de solutions. Exemples.

• Analyse réelle : fondements

Logique propositionnelle. Calcul propositionnel.

Ensembles, opérations d'ensemble, relations, fonctions. La cardinalité des ensembles, des ensembles dénombrables, des ensembles indénombrables. Ensembles de nombres élémentaires. Entiers et rationnels. Principe d'induction.

En savoir plus sur les fonctions : fonctions injectives et surjectives, fonctions inversibles, image et pré-image.

L'ensemble des nombres réels. Axiome de séparation, Dedekind coupe. Infimum et supremum. Propriété d'Archimède. Nombres complexes : forme cartésienne et trigonométrique, propriétés de base, puissances, racines complexes, théorème fondamental de l'algèbre.

Suites de nombres réels : suites monotones, convergence d'une suite, sous-suites, limsup et liminf d'une suite, théorème de Bolzano-Weierstrass.

Introduction aux fonctions des nombres réels. Fonctions élémentaires : fonction exponentielle et logarithmique, fonctions trigonométriques, fonctions irrationnelles. Fonctions monotones.

La topologie des nombres réels : intervalles, demi-droites, ensembles ouverts, ensembles fermés. La topologie de l'espace euclidien Rn : boules, ensembles ouverts et fermés. Ensembles compacts dans l'espace euclidien.

Partie 2

• Présentation de MATLAB

L'environnement MATLAB, la programmation informatique de base, les variables et les constantes, les opérateurs et les calculs simples, les formules et les fonctions. Boîtes à outils MATLAB.

Revue d'algèbre matricielle et linéaire, vecteurs et matrices dans MATLAB, opérations matricielles et fonctions dans MATLAB.

Algorithmes et structures, scripts et fonctions MATLAB (fichiers m), algorithmes séquentiels simples, structures de contrôle (si... alors, boucles).

Lecture et écriture de données, gestion de fichiers, fonctions personnalisées, fonctions graphiques MATLAB. Séances interactives pratiques.

• Introduction à la programmation

Algorithmes, programmes et langages de programmation.

L'environnement d'apprentissage pour le langage de programmation Python et Turtle Graphics. Commandes et séquences de commandes. Ecrire et exécuter un programme.

Itération définie. Procédures : définition et appel de fonctions Python. Procédures avec paramètres.

Variables et objets. Types de données de base en Python. Expressions.

Sélection, récursivité et itération indéfinie.

Structures de données de base en Python : tuples, chaînes, listes, dictionnaires.